Resolver {l}{y=9-2x}{3x+2y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 9 - 2 x } \\ { 3 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=9$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+2x=9$$

Egin ken 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-2x+9$$

Ordeztu -2x+9 balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y+3x=16).

$$2\left(-2x+9\right)+3x=16$$

Egin 2 bider -2x+9.

$$-4x+18+3x=16$$

Gehitu -4x eta 3x.

$$-x+18=16$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y=-2x+9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-2\times 2+9$$

Egin -2 bider 2.

$$y=-4+9$$

Gehitu 9 eta -4.

$$y=5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=5,x=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=9$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 9+2\times 16\\2\times 9-16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=5,x=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=9$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

y eta 2y berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2y+2\times 2x=2\times 9,2y+3x=16$$

Sinplifikatu.

$$2y+4x=18,2y+3x=16$$

Egin 2y+3x=16 ken 2y+4x=18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2y-2y+4x-3x=18-16$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-3x=18-16$$

Gehitu 4x eta -3x.

$$x=18-16$$

Gehitu 18 eta -16.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin 2y+3x=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y+3\times 2=16$$

Egin 3 bider 2.

$$2y+6=16$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=5,x=2$$