Resolver {l}{y=-3/2x+3}{y=3/2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 2 } x + 3 } \\ { y = \frac { 3 } { 2 } x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=1$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{2}x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{3}{2}x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+\frac{3}{2}x=3,y-\frac{3}{2}x=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+\frac{3}{2}x=3$$

Egin ken \frac{3x}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-\frac{3}{2}x+3$$

Ordeztu -\frac{3x}{2}+3 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-\frac{3}{2}x=0).

$$-\frac{3}{2}x+3-\frac{3}{2}x=0$$

Gehitu -\frac{3x}{2} eta -\frac{3x}{2}.

$$-3x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y=-\frac{3}{2}x+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{3}{2}+3$$

Gehitu 3 eta -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{3}{2},x=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{2}x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{3}{2}x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+\frac{3}{2}x=3,y-\frac{3}{2}x=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}}&\frac{1}{-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3\\\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{3}{2},x=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{3}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{3}{2}x=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{3}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{3}{2}x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+\frac{3}{2}x=3,y-\frac{3}{2}x=0$$

Egin y-\frac{3}{2}x=0 ken y+\frac{3}{2}x=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}x=3$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}x=3$$

Gehitu \frac{3x}{2} eta \frac{3x}{2}.

$$3x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y-\frac{3}{2}x=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\frac{3}{2}=0$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{3}{2},x=1$$