Resolver {l}{x_{1}-2x_{2}=3}{2x_{1}+3x_{2}=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } = 3 } \\ { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$x_{2}=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x_{1}. Horretarako, isolatu x_{1} berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x_{1}-2x_{2}=3$$

Gehitu 2x_{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x_{1}=2x_{2}+3$$

Ordeztu 2x_{2}+3 balioa x_{1} balioarekin beste ekuazioan (2x_{1}+3x_{2}=1).

$$2\left(2x_{2}+3\right)+3x_{2}=1$$

Egin 2 bider 2x_{2}+3.

$$4x_{2}+6+3x_{2}=1$$

Gehitu 4x_{2} eta 3x_{2}.

$$7x_{2}+6=1$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x_{2}=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Ordeztu -\frac{5}{7} x_{2} balioarekin x_{1}=2x_{2}+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$x_{1}=2\left(-\frac{5}{7}\right)+3$$

Egin 2 bider -\frac{5}{7}.

$$x_{1}=-\frac{10}{7}+3$$

Gehitu 3 eta -\frac{10}{7}.

$$x_{1}=\frac{11}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 3+\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}\times 3+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x_{1} eta x_{2} matrize-elementuak.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

x_{1} eta 2x_{1} berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x_{1}+2\left(-2\right)x_{2}=2\times 3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Sinplifikatu.

$$2x_{1}-4x_{2}=6,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Egin 2x_{1}+3x_{2}=1 ken 2x_{1}-4x_{2}=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x_{1}-2x_{1}-4x_{2}-3x_{2}=6-1$$

Gehitu 2x_{1} eta -2x_{1}. Sinplifikatu egiten dira 2x_{1} eta -2x_{1}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4x_{2}-3x_{2}=6-1$$

Gehitu -4x_{2} eta -3x_{2}.

$$-7x_{2}=6-1$$

Gehitu 6 eta -1.

$$-7x_{2}=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Ordeztu -\frac{5}{7} x_{2} balioarekin 2x_{1}+3x_{2}=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x_{1}+3\left(-\frac{5}{7}\right)=1$$

Egin 3 bider -\frac{5}{7}.

$$2x_{1}-\frac{15}{7}=1$$

Gehitu \frac{15}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x_{1}=\frac{22}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x_{1}=\frac{11}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$