Resolver {l}{x-3y=-3}{2x-y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = - 3 } \\ { 2 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-3y=-3,2x-y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-3y=-3$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3y-3$$

Ordeztu -3+3y balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=4).

$$2\left(3y-3\right)-y=4$$

Egin 2 bider -3+3y.

$$6y-6-y=4$$

Gehitu 6y eta -y.

$$5y-6=4$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=3y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\times 2-3$$

Egin 3 bider 2.

$$x=6-3$$

Gehitu -3 eta 6.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-3y=-3,2x-y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{3}{5}\times 4\\-\frac{2}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-3y=-3,2x-y=4$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\left(-3\right)y=2\left(-3\right),2x-y=4$$

Sinplifikatu.

$$2x-6y=-6,2x-y=4$$

Egin 2x-y=4 ken 2x-6y=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-6y+y=-6-4$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y+y=-6-4$$

Gehitu -6y eta y.

$$-5y=-6-4$$

Gehitu -6 eta -4.

$$-5y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 2x-y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-2=4$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=2$$