Resolver {l}{x-2y=-6}{6x+8y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 8 y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10} = 1.9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-2y=-6$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2y-6$$

Ordeztu -6+2y balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+8y=2).

$$6\left(2y-6\right)+8y=2$$

Egin 6 bider -6+2y.

$$12y-36+8y=2$$

Gehitu 12y eta 8y.

$$20y-36=2$$

Gehitu 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$20y=38$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$y=\frac{19}{10}$$

Ordeztu \frac{19}{10} y balioarekin x=2y-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\times \frac{19}{10}-6$$

Egin 2 bider \frac{19}{10}.

$$x=\frac{19}{5}-6$$

Gehitu -6 eta \frac{19}{5}.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{8-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{8-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{8-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{10}\times 2\\-\frac{3}{10}\left(-6\right)+\frac{1}{20}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+8y=2$$

Sinplifikatu.

$$6x-12y=-36,6x+8y=2$$

Egin 6x+8y=2 ken 6x-12y=-36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-12y-8y=-36-2$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y-8y=-36-2$$

Gehitu -12y eta -8y.

$$-20y=-36-2$$

Gehitu -36 eta -2.

$$-20y=-38$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$y=\frac{19}{10}$$

Ordeztu \frac{19}{10} y balioarekin 6x+8y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+8\times \frac{19}{10}=2$$

Egin 8 bider \frac{19}{10}.

$$6x+\frac{76}{5}=2$$

Egin ken \frac{76}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-\frac{66}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$