Resolver {l}{xsqrt{2}-ysqrt{5}=2sqrt{10}}{xsqrt{5}+ysqrt{2}=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x \sqrt { 2 } - y \sqrt { 5 } = 2 \sqrt { 10 } } \\ { x \sqrt { 5 } + y \sqrt { 2 } = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\sqrt{5}\approx 2.236067977$$

$$y=-\sqrt{2}\approx -1.414213562$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Berrantolatu gaiak.

$$\sqrt{2}x-\sqrt{5}y=2\sqrt{10}$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10},\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10}$$

Gehitu \sqrt{5}y ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{2}x=\sqrt{5}y+2\sqrt{10}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \sqrt{2} balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{5}y+2\sqrt{10}\right)$$

Egin \frac{\sqrt{2}}{2} bider \sqrt{5}y+2\sqrt{10}.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}$$

Ordeztu \frac{\sqrt{10}y}{2}+2\sqrt{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3).

$$\sqrt{5}\left(\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}y=3$$

Egin \sqrt{5} bider \frac{\sqrt{10}y}{2}+2\sqrt{5}.

$$\frac{5\sqrt{2}}{2}y+10+\sqrt{2}y=3$$

Gehitu \frac{5\sqrt{2}y}{2} eta \sqrt{2}y.

$$\frac{7\sqrt{2}}{2}y+10=3$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7\sqrt{2}}{2}y=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7\sqrt{2}}{2} balioarekin.

$$y=-\sqrt{2}$$

Ordeztu -\sqrt{2} y balioarekin x=\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}\left(-\sqrt{2}\right)+2\sqrt{5}$$

Egin \frac{\sqrt{10}}{2} bider -\sqrt{2}.

$$x=-\sqrt{5}+2\sqrt{5}$$

Gehitu 2\sqrt{5} eta -\sqrt{5}.

$$x=\sqrt{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\sqrt{5},y=-\sqrt{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Berrantolatu gaiak.

$$\sqrt{2}x-\sqrt{5}y=2\sqrt{10}$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10},\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3$$

\sqrt{2}x eta \sqrt{5}x berdintzeko, biderkatu \sqrt{5} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \sqrt{2} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\sqrt{5}\sqrt{2}x+\sqrt{5}\left(-\sqrt{5}\right)y=\sqrt{5}\times 2\sqrt{10},\sqrt{2}\sqrt{5}x+\sqrt{2}\sqrt{2}y=\sqrt{2}\times 3$$

Sinplifikatu.

$$\sqrt{10}x-5y=10\sqrt{2},\sqrt{10}x+2y=3\sqrt{2}$$

Egin \sqrt{10}x+2y=3\sqrt{2} ken \sqrt{10}x-5y=10\sqrt{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\sqrt{10}x+\left(-\sqrt{10}\right)x-5y-2y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

Gehitu \sqrt{10}x eta -\sqrt{10}x. Sinplifikatu egiten dira \sqrt{10}x eta -\sqrt{10}x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5y-2y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

Gehitu -5y eta -2y.

$$-7y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

Gehitu 10\sqrt{2} eta -3\sqrt{2}.

$$-7y=7\sqrt{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-\sqrt{2}$$

Ordeztu -\sqrt{2} y balioarekin \sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\sqrt{5}x+\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)=3$$

Egin \sqrt{2} bider -\sqrt{2}.

$$\sqrt{5}x-2=3$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\sqrt{5}x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \sqrt{5} balioarekin.

$$x=\sqrt{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\sqrt{5},y=-\sqrt{2}$$