Resolver {l}{x+y=4}{4x-3y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 4 x - 3 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=4$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+4$$

Ordeztu -y+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-3y=-19).

$$4\left(-y+4\right)-3y=-19$$

Egin 4 bider -y+4.

$$-4y+16-3y=-19$$

Gehitu -4y eta -3y.

$$-7y+16=-19$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7y=-35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5+4$$

Gehitu 4 eta -5.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-4}&-\frac{1}{-3-4}\\-\frac{4}{-3-4}&\frac{1}{-3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-19\right)\\\frac{4}{7}\times 4-\frac{1}{7}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+4y=4\times 4,4x-3y=-19$$

Sinplifikatu.

$$4x+4y=16,4x-3y=-19$$

Egin 4x-3y=-19 ken 4x+4y=16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+4y+3y=16+19$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y+3y=16+19$$

Gehitu 4y eta 3y.

$$7y=16+19$$

Gehitu 16 eta 19.

$$7y=35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 4x-3y=-19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-3\times 5=-19$$

Egin -3 bider 5.

$$4x-15=-19$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=5$$