Resolver {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=15$$

$$y=21$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 7y balioarekin (7,y balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5y=7x$$

Kendu 7x bi aldeetatik.

$$5y-7x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=36$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+36$$

Ordeztu -y+36 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-7x+5y=0).

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

Egin -7 bider -y+36.

$$7y-252+5y=0$$

Gehitu 7y eta 5y.

$$12y-252=0$$

Gehitu 252 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12y=252$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$y=21$$

Ordeztu 21 y balioarekin x=-y+36 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-21+36$$

Gehitu 36 eta -21.

$$x=15$$

Ebatzi da sistema.

$$x=15,y=21$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 7y balioarekin (7,y balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5y=7x$$

Kendu 7x bi aldeetatik.

$$5y-7x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=15,y=21$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta 0 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 7y balioarekin (7,y balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5y=7x$$

Kendu 7x bi aldeetatik.

$$5y-7x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

x eta -7x berdintzeko, biderkatu -7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

Sinplifikatu.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

Egin -7x+5y=0 ken -7x-7y=-252 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

Gehitu -7x eta 7x. Sinplifikatu egiten dira -7x eta 7x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-7y-5y=-252$$

Gehitu -7y eta -5y.

$$-12y=-252$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$y=21$$

Ordeztu 21 y balioarekin -7x+5y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-7x+5\times 21=0$$

Egin 5 bider 21.

$$-7x+105=0$$

Egin ken 105 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=-105$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=15$$

Ebatzi da sistema.

$$x=15,y=21$$