Resolver {l}{x+y=220}{x+180-1.5y=320}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { x + 180 - 1.5 y = 320 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=188$$

$$y=32$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=220,x-1.5y+180=320$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=220$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+220$$

Ordeztu -y+220 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-1.5y+180=320).

$$-y+220-1.5y+180=320$$

Gehitu -y eta -\frac{3y}{2}.

$$-2.5y+220+180=320$$

Gehitu 220 eta 180.

$$-2.5y+400=320$$

Egin ken 400 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2.5y=-80$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=32$$

Ordeztu 32 y balioarekin x=-y+220 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-32+220$$

Gehitu 220 eta -32.

$$x=188$$

Ebatzi da sistema.

$$x=188,y=32$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=220,x-1.5y+180=320$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.5}{-1.5-1}&-\frac{1}{-1.5-1}\\-\frac{1}{-1.5-1}&\frac{1}{-1.5-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.6&0.4\\0.4&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\140\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.6\times 220+0.4\times 140\\0.4\times 220-0.4\times 140\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}188\\32\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=188,y=32$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=220,x-1.5y+180=320$$

Egin x-1.5y+180=320 ken x+y=220 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+y+1.5y-180=220-320$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+1.5y-180=220-320$$

Gehitu y eta \frac{3y}{2}.

$$2.5y-180=220-320$$

Gehitu 220 eta -320.

$$2.5y-180=-100$$

Gehitu 180 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2.5y=80$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=32$$

Ordeztu 32 y balioarekin x-1.5y+180=320 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-1.5\times 32+180=320$$

Egin -1.5 bider 32.

$$x-48+180=320$$

Gehitu -48 eta 180.

$$x+132=320$$

Egin ken 132 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=188$$

Ebatzi da sistema.

$$x=188,y=32$$