Resolver {l}{x+2y=0}{5x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 0 } \\ { 5 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=0,5x+7y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=0$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y$$

Ordeztu -2y balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+7y=3).

$$5\left(-2\right)y+7y=3$$

Egin 5 bider -2y.

$$-10y+7y=3$$

Gehitu -10y eta 7y.

$$-3y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-2y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-1\right)$$

Egin -2 bider -1.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=0,5x+7y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-2\times 5}&-\frac{2}{7-2\times 5}\\-\frac{5}{7-2\times 5}&\frac{1}{7-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3\\-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=0,5x+7y=3$$

x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+5\times 2y=0,5x+7y=3$$

Sinplifikatu.

$$5x+10y=0,5x+7y=3$$

Egin 5x+7y=3 ken 5x+10y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+10y-7y=-3$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-7y=-3$$

Gehitu 10y eta -7y.

$$3y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 5x+7y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+7\left(-1\right)=3$$

Egin 7 bider -1.

$$5x-7=3$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-1$$