Resolver {l}{x+2y=0}{5x+2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 0 } \\ { 5 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y=-\frac{3}{8}=-0.375$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=0,5x+2y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=0$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y$$

Ordeztu -2y balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+2y=3).

$$5\left(-2\right)y+2y=3$$

Egin 5 bider -2y.

$$-10y+2y=3$$

Gehitu -10y eta 2y.

$$-8y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{8}$$

Ordeztu -\frac{3}{8} y balioarekin x=-2y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-\frac{3}{8}\right)$$

Egin -2 bider -\frac{3}{8}.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{3}{8}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=0,5x+2y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 5}&-\frac{2}{2-2\times 5}\\-\frac{5}{2-2\times 5}&\frac{1}{2-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{3}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=0,5x+2y=3$$

Egin 5x+2y=3 ken x+2y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-5x+2y-2y=-3$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-5x=-3$$

Gehitu x eta -5x.

$$-4x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ordeztu \frac{3}{4} x balioarekin 5x+2y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$5\times \frac{3}{4}+2y=3$$

Egin 5 bider \frac{3}{4}.

$$\frac{15}{4}+2y=3$$

Egin ken \frac{15}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-\frac{3}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{3}{8}$$