Resolver {l}{x+2y=-2}{4y=1-3x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 2 } \\ { 4 y = 1 - 3 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$4y+3x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=-2$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y-2$$

Ordeztu -2y-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+4y=1).

$$3\left(-2y-2\right)+4y=1$$

Egin 3 bider -2y-2.

$$-6y-6+4y=1$$

Gehitu -6y eta 4y.

$$-2y-6=1$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Ordeztu -\frac{7}{2} y balioarekin x=-2y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-\frac{7}{2}\right)-2$$

Egin -2 bider -\frac{7}{2}.

$$x=7-2$$

Gehitu -2 eta 7.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$4y+3x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 3}&-\frac{2}{4-2\times 3}\\-\frac{3}{4-2\times 3}&\frac{1}{4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+1\\\frac{3}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$4y+3x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times 2y=3\left(-2\right),3x+4y=1$$

Sinplifikatu.

$$3x+6y=-6,3x+4y=1$$

Egin 3x+4y=1 ken 3x+6y=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+6y-4y=-6-1$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-4y=-6-1$$

Gehitu 6y eta -4y.

$$2y=-6-1$$

Gehitu -6 eta -1.

$$2y=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Ordeztu -\frac{7}{2} y balioarekin 3x+4y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+4\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

Egin 4 bider -\frac{7}{2}.

$$3x-14=1$$

Gehitu 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$