Resolver {l}{x+1=2y+2}{x-1=3y-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 1 = 2 y + 2 } \\ { x - 1 = 3 y - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x+1-2y=2$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$x-2y=2-1$$

1 lortzeko, 2 balioari kendu 1.

$$x-2y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-1-3y=-3$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$x-3y=-3+1$$

-2 lortzeko, gehitu -3 eta 1.

$$x-3y=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-2y=1,x-3y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-2y=1$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2y+1$$

Ordeztu 2y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-3y=-2).

$$2y+1-3y=-2$$

Gehitu 2y eta -3y.

$$-y+1=-2$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=2y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\times 3+1$$

Egin 2 bider 3.

$$x=6+1$$

Gehitu 1 eta 6.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x+1-2y=2$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$x-2y=2-1$$

1 lortzeko, 2 balioari kendu 1.

$$x-2y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-1-3y=-3$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$x-3y=-3+1$$

-2 lortzeko, gehitu -3 eta 1.

$$x-3y=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-2y=1,x-3y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-2\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$x+1-2y=2$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$x-2y=2-1$$

1 lortzeko, 2 balioari kendu 1.

$$x-2y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$x-1-3y=-3$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$x-3y=-3+1$$

-2 lortzeko, gehitu -3 eta 1.

$$x-3y=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-2y=1,x-3y=-2$$

Egin x-3y=-2 ken x-2y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x-2y+3y=1+2$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y+3y=1+2$$

Gehitu -2y eta 3y.

$$y=1+2$$

Gehitu 1 eta 2.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x-3y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-3\times 3=-2$$

Egin -3 bider 3.

$$x-9=-2$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=3$$