Resolver {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$ty+2-x=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$ty-x=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

Ebatzi ty-x=-2 ekuazioko y. Horretarako, isolatu y berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$ty-x=-2$$

Egin ken -x ekuazioaren bi aldeetan.

$$ty=x-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak t balioarekin.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

Ordeztu \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} balioa y balioarekin beste ekuazioan (x^{2}+4y^{2}=4).

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Egin \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} ber bi.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

Egin 4 bider \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Gehitu x^{2} eta 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} balioa a balioarekin, 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) balioa b balioarekin, eta \frac{16}{t^{2}}-4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Egin 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) ber bi.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Egin -4 bider 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Egin -4-\frac{16}{t^{2}} bider \frac{16}{t^{2}}-4.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Gehitu \frac{256}{t^{4}} eta -\frac{256}{t^{4}}+16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Atera 16 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Egin 2 bider 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{16}{t^{2}} eta 4.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Zatitu 4+\frac{16}{t^{2}} balioa 2+\frac{8}{t^{2}} balioarekin.

$$x=2$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} ekuazioa ± minus denean. Egin 4 ken \frac{16}{t^{2}}.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Zatitu \frac{16}{t^{2}}-4 balioa 2+\frac{8}{t^{2}} balioarekin.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

Bi ebazpide ditu x balioak: 2 eta -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. Ordeztu 2 balioa x balioarekin y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren y balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

Egin \frac{1}{t} bider 2.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Orain, ordeztu -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} balioa y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} ekuazioko x balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren y balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

Egin \frac{1}{t} bider -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$