Resolver {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

Gehitu ry ekuazioaren bi aldeetan.

$$rx=ry+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak r balioarekin.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

Egin \frac{1}{r} bider ry+1.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

Ordeztu y+\frac{1}{r} balioa x balioarekin beste ekuazioan (rx-9y=r).

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

Egin r bider y+\frac{1}{r}.

$$ry+1-9y=r$$

Gehitu ry eta -9y.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak r-9 balioarekin.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

Ordeztu \frac{r-1}{r-9} y balioarekin x=y+\frac{1}{r} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

Gehitu \frac{1}{r} eta \frac{r-1}{r-9}.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Egin rx-9y=r ken rx+\left(-r\right)y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Gehitu rx eta -rx. Sinplifikatu egiten dira rx eta -rx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Gehitu -ry eta 9y.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -r+9 balioarekin.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

Ordeztu \frac{1-r}{-r+9} y balioarekin rx-9y=r ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

Egin -9 bider \frac{1-r}{-r+9}.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

Gehitu \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak r balioarekin.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$