Resolver {l}{py-x=ap^2}{ay-x=aq^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { p y - x = a p ^ { 2 } } \\ { a y - x = a q ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}\text{, }y=-\frac{a\left(p^{2}-q^{2}\right)}{a-p}\text{, }&p\neq a\\x=p\left(y-ap\right)\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(p=q\text{ and }a=q\right)\text{ or }\left(p=-q\text{ and }a=-q\right)\text{ or }\left(a=0\text{ and }p=0\right)\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$py-x=ap^{2},ay-x=aq^{2}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$py-x=ap^{2}$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$py=x+ap^{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak p balioarekin.

$$y=\frac{1}{p}\left(x+ap^{2}\right)$$

Egin \frac{1}{p} bider x+ap^{2}.

$$y=\frac{1}{p}x+ap$$

Ordeztu pa+\frac{x}{p} balioa y balioarekin beste ekuazioan (ay-x=aq^{2}).

$$a\left(\frac{1}{p}x+ap\right)-x=aq^{2}$$

Egin a bider pa+\frac{x}{p}.

$$\frac{a}{p}x+pa^{2}-x=aq^{2}$$

Gehitu \frac{ax}{p} eta -x.

$$\left(\frac{a}{p}-1\right)x+pa^{2}=aq^{2}$$

Egin ken pa^{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(\frac{a}{p}-1\right)x=a\left(q^{2}-ap\right)$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{a}{p}-1 balioarekin.

$$x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}$$

Ordeztu \frac{a\left(q^{2}-pa\right)p}{a-p} x balioarekin y=\frac{1}{p}x+ap ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{1}{p}\times \frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}+ap$$

Egin \frac{1}{p} bider \frac{a\left(q^{2}-pa\right)p}{a-p}.

$$y=\frac{a\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}+ap$$

Gehitu ap eta \frac{a\left(q^{2}-pa\right)}{a-p}.

$$y=-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p},x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$py-x=ap^{2},ay-x=aq^{2}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}&-\frac{-1}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}\\-\frac{a}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}&\frac{p}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{a-p}&\frac{1}{a-p}\\-\frac{a}{a-p}&\frac{p}{a-p}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{1}{a-p}\right)ap^{2}+\frac{1}{a-p}aq^{2}\\\left(-\frac{a}{a-p}\right)ap^{2}+\frac{p}{a-p}aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p}\\\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p},x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$py-x=ap^{2},ay-x=aq^{2}$$

Egin ay-x=aq^{2} ken py-x=ap^{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$py+\left(-a\right)y-x+x=ap^{2}-aq^{2}$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$py+\left(-a\right)y=ap^{2}-aq^{2}$$

Gehitu py eta -ay.

$$\left(p-a\right)y=ap^{2}-aq^{2}$$

Gehitu ap^{2} eta -aq^{2}.

$$\left(p-a\right)y=a\left(p-q\right)\left(p+q\right)$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak p-a balioarekin.

$$y=\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a}$$

Ordeztu \frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a} y balioarekin ay-x=aq^{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$a\times \frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a}-x=aq^{2}$$

Egin a bider \frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a}.

$$\frac{\left(p-q\right)\left(p+q\right)a^{2}}{p-a}-x=aq^{2}$$

Egin ken \frac{\left(p-q\right)\left(p+q\right)a^{2}}{p-a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{p-a}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{p-a}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a},x=-\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{p-a}$$

Ebatzi: x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}\text{, }y=-\frac{a\left(p^{2}-q^{2}\right)}{a-p}\text{, }&p\neq a\\x=p\left(y-ap\right)\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(p=q\text{ and }a=q\right)\text{ or }\left(p=-q\text{ and }a=-q\right)\text{ or }\left(a=0\text{ and }p=0\right)\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$py-x=ap^{2},ay-x=aq^{2}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$py-x=ap^{2}$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$py=x+ap^{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak p balioarekin.

$$y=\frac{1}{p}\left(x+ap^{2}\right)$$

Egin \frac{1}{p} bider x+ap^{2}.

$$y=\frac{1}{p}x+ap$$

Ordeztu pa+\frac{x}{p} balioa y balioarekin beste ekuazioan (ay-x=aq^{2}).

$$a\left(\frac{1}{p}x+ap\right)-x=aq^{2}$$

Egin a bider pa+\frac{x}{p}.

$$\frac{a}{p}x+pa^{2}-x=aq^{2}$$

Gehitu \frac{ax}{p} eta -x.

$$\left(\frac{a}{p}-1\right)x+pa^{2}=aq^{2}$$

Egin ken pa^{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(\frac{a}{p}-1\right)x=a\left(q^{2}-ap\right)$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{a}{p}-1 balioarekin.

$$x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}$$

Ordeztu \frac{a\left(q^{2}-pa\right)p}{a-p} x balioarekin y=\frac{1}{p}x+ap ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{1}{p}\times \frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}+ap$$

Egin \frac{1}{p} bider \frac{a\left(q^{2}-pa\right)p}{a-p}.

$$y=\frac{a\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}+ap$$

Gehitu ap eta \frac{a\left(q^{2}-pa\right)}{a-p}.

$$y=-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p},x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$py-x=ap^{2},ay-x=aq^{2}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&-1\\a&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}&-\frac{-1}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}\\-\frac{a}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}&\frac{p}{p\left(-1\right)-\left(-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{a-p}&\frac{1}{a-p}\\-\frac{a}{a-p}&\frac{p}{a-p}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}ap^{2}\\aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{1}{a-p}\right)ap^{2}+\frac{1}{a-p}aq^{2}\\\left(-\frac{a}{a-p}\right)ap^{2}+\frac{p}{a-p}aq^{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p}\\\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{a-p},x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{a-p}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$py-x=ap^{2},ay-x=aq^{2}$$

Egin ay-x=aq^{2} ken py-x=ap^{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$py+\left(-a\right)y-x+x=ap^{2}-aq^{2}$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$py+\left(-a\right)y=ap^{2}-aq^{2}$$

Gehitu py eta -ay.

$$\left(p-a\right)y=ap^{2}-aq^{2}$$

Gehitu ap^{2} eta -aq^{2}.

$$\left(p-a\right)y=a\left(p-q\right)\left(p+q\right)$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak p-a balioarekin.

$$y=\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a}$$

Ordeztu \frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a} y balioarekin ay-x=aq^{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$a\times \frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a}-x=aq^{2}$$

Egin a bider \frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a}.

$$\frac{\left(p-q\right)\left(p+q\right)a^{2}}{p-a}-x=aq^{2}$$

Egin ken \frac{\left(p-q\right)\left(p+q\right)a^{2}}{p-a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{p-a}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{p-a}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{a\left(p-q\right)\left(p+q\right)}{p-a},x=-\frac{ap\left(q^{2}-ap\right)}{p-a}$$