Resolver {l}{kx+9y=18}{4x-5y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { kx + 9 y = 18 } \\ { 4 x - 5 y = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

$$k\neq -\frac{36}{5}$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$kx+9y=18$$

Egin ken 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$kx=-9y+18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak k balioarekin.

$$x=\frac{1}{k}\left(-9y+18\right)$$

Egin \frac{1}{k} bider -9y+18.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}$$

Ordeztu \frac{9\left(2-y\right)}{k} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-5y=20).

$$4\left(\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k}\right)-5y=20$$

Egin 4 bider \frac{9\left(2-y\right)}{k}.

$$\left(-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}-5y=20$$

Gehitu -\frac{36y}{k} eta -5y.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y+\frac{72}{k}=20$$

Egin ken \frac{72}{k} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-5-\frac{36}{k}\right)y=20-\frac{72}{k}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{36}{k}-5 balioarekin.

$$y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

Ordeztu -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k} y balioarekin x=\left(-\frac{9}{k}\right)y+\frac{18}{k} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{9}{k}\right)\left(-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}\right)+\frac{18}{k}$$

Egin -\frac{9}{k} bider -\frac{4\left(-18+5k\right)}{36+5k}.

$$x=\frac{36\left(5k-18\right)}{k\left(5k+36\right)}+\frac{18}{k}$$

Gehitu \frac{18}{k} eta \frac{36\left(-18+5k\right)}{k\left(36+5k\right)}.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=-\frac{4\left(5k-18\right)}{5k+36}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&9\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{k\left(-5\right)-9\times 4}&-\frac{9}{k\left(-5\right)-9\times 4}\\-\frac{4}{k\left(-5\right)-9\times 4}&\frac{k}{k\left(-5\right)-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}&\frac{9}{5k+36}\\\frac{4}{5k+36}&-\frac{k}{5k+36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5k+36}\times 18+\frac{9}{5k+36}\times 20\\\frac{4}{5k+36}\times 18+\left(-\frac{k}{5k+36}\right)\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{270}{5k+36}\\\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$kx+9y=18,4x-5y=20$$

kx eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu k balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4kx+4\times 9y=4\times 18,k\times 4x+k\left(-5\right)y=k\times 20$$

Sinplifikatu.

$$4kx+36y=72,4kx+\left(-5k\right)y=20k$$

Egin 4kx+\left(-5k\right)y=20k ken 4kx+36y=72 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4kx+\left(-4k\right)x+36y+5ky=72-20k$$

Gehitu 4kx eta -4kx. Sinplifikatu egiten dira 4kx eta -4kx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36y+5ky=72-20k$$

Gehitu 36y eta 5ky.

$$\left(5k+36\right)y=72-20k$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 36+5k balioarekin.

$$y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$

Ordeztu \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k} y balioarekin 4x-5y=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-5\times \frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

Egin -5 bider \frac{4\left(18-5k\right)}{36+5k}.

$$4x-\frac{20\left(18-5k\right)}{5k+36}=20$$

Gehitu \frac{20\left(18-5k\right)}{36+5k} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{1080}{5k+36}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{270}{5k+36}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{270}{5k+36},y=\frac{4\left(18-5k\right)}{5k+36}$$