Resolver {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: k, a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi k. Horretarako, isolatu k berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8k+a=3650$$

Egin ken a ekuazioaren bi aldeetan.

$$8k=-a+3650$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -a+3650.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

Ordeztu -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} balioa k balioarekin beste ekuazioan (15k+a=150).

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

Egin 15 bider -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

Gehitu -\frac{15a}{8} eta a.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

Egin ken \frac{27375}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$a=7650$$

Ordeztu 7650 a balioarekin k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, k ebatz dezakezu zuzenean.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

Egin -\frac{1}{8} bider 7650.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

Gehitu \frac{1825}{4} eta -\frac{3825}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k=-500$$

Ebatzi da sistema.

$$k=-500,a=7650$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

Atera k eta a matrize-elementuak.

$$k=-500,a=7650$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Egin 15k+a=150 ken 8k+a=3650 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

Gehitu a eta -a. Sinplifikatu egiten dira a eta -a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8k-15k=3650-150$$

Gehitu 8k eta -15k.

$$-7k=3650-150$$

Gehitu 3650 eta -150.

$$-7k=3500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$k=-500$$

Ordeztu -500 k balioarekin 15k+a=150 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

Egin 15 bider -500.

$$-7500+a=150$$

Gehitu 7500 ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=7650$$

Ebatzi da sistema.

$$k=-500,a=7650$$