Resolver {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$78x+40y=1280$$

Egin ken 40y ekuazioaren bi aldeetan.

$$78x=-40y+1280$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 78 balioarekin.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

Egin \frac{1}{78} bider -40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

Ordeztu \frac{-20y+640}{39} balioa x balioarekin beste ekuazioan (120x+80y=2800).

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

Egin 120 bider \frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

Gehitu -\frac{800y}{13} eta 80y.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

Egin ken \frac{25600}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{240}{13} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=45$$

Ordeztu 45 y balioarekin x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

Egin -\frac{20}{39} bider 45.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

Gehitu \frac{640}{39} eta -\frac{300}{13} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

78x eta 120x berdintzeko, biderkatu 120 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 78 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

Sinplifikatu.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

Egin 9360x+6240y=218400 ken 9360x+4800y=153600 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

Gehitu 9360x eta -9360x. Sinplifikatu egiten dira 9360x eta -9360x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

Gehitu 4800y eta -6240y.

$$-1440y=153600-218400$$

Gehitu 153600 eta -218400.

$$-1440y=-64800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1440 balioarekin.

$$y=45$$

Ordeztu 45 y balioarekin 120x+80y=2800 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$120x+80\times 45=2800$$

Egin 80 bider 45.

$$120x+3600=2800$$

Egin ken 3600 ekuazioaren bi aldeetan.

$$120x=-800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 120 balioarekin.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$