Resolver {l}{65=190k+b}{60=200k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 65 = 190 k + b } \\ { 60 = 200 k + b } \end{array} \right.$$

Ebatzi: k, b

$$k=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$b=160$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$190k+b=65$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$200k+b=60$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$190k+b=65,200k+b=60$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi k. Horretarako, isolatu k berdin ikurraren ezkerraldean.

$$190k+b=65$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$190k=-b+65$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 190 balioarekin.

$$k=\frac{1}{190}\left(-b+65\right)$$

Egin \frac{1}{190} bider -b+65.

$$k=-\frac{1}{190}b+\frac{13}{38}$$

Ordeztu -\frac{b}{190}+\frac{13}{38} balioa k balioarekin beste ekuazioan (200k+b=60).

$$200\left(-\frac{1}{190}b+\frac{13}{38}\right)+b=60$$

Egin 200 bider -\frac{b}{190}+\frac{13}{38}.

$$-\frac{20}{19}b+\frac{1300}{19}+b=60$$

Gehitu -\frac{20b}{19} eta b.

$$-\frac{1}{19}b+\frac{1300}{19}=60$$

Egin ken \frac{1300}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{19}b=-\frac{160}{19}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$b=160$$

Ordeztu 160 b balioarekin k=-\frac{1}{190}b+\frac{13}{38} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, k ebatz dezakezu zuzenean.

$$k=-\frac{1}{190}\times 160+\frac{13}{38}$$

Egin -\frac{1}{190} bider 160.

$$k=-\frac{16}{19}+\frac{13}{38}$$

Gehitu \frac{13}{38} eta -\frac{16}{19} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$k=-\frac{1}{2},b=160$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$190k+b=65$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$200k+b=60$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$190k+b=65,200k+b=60$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}190&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{190-200}&-\frac{1}{190-200}\\-\frac{200}{190-200}&\frac{190}{190-200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}65\\60\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 65+\frac{1}{10}\times 60\\20\times 65-19\times 60\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\160\end{matrix}\right)$$

Atera k eta b matrize-elementuak.

$$k=-\frac{1}{2},b=160$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$190k+b=65$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$200k+b=60$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$190k+b=65,200k+b=60$$

Egin 200k+b=60 ken 190k+b=65 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$190k-200k+b-b=65-60$$

Gehitu b eta -b. Sinplifikatu egiten dira b eta -b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$190k-200k=65-60$$

Gehitu 190k eta -200k.

$$-10k=65-60$$

Gehitu 65 eta -60.

$$-10k=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$k=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} k balioarekin 200k+b=60 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$200\left(-\frac{1}{2}\right)+b=60$$

Egin 200 bider -\frac{1}{2}.

$$-100+b=60$$

Gehitu 100 ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=160$$

Ebatzi da sistema.

$$k=-\frac{1}{2},b=160$$