Resolver {l}{5x-2y=1}{15x-3y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 1 } \\ { 15 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-2y=1,15x-3y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-2y=1$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=2y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{2y+1}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (15x-3y=-3).

$$15\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)-3y=-3$$

Egin 15 bider \frac{2y+1}{5}.

$$6y+3-3y=-3$$

Gehitu 6y eta -3y.

$$3y+3=-3$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}$$

Egin \frac{2}{5} bider -2.

$$x=\frac{-4+1}{5}$$

Gehitu \frac{1}{5} eta -\frac{4}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3}{5},y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-2y=1,15x-3y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\15&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}&-\frac{-2}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}\\-\frac{15}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\\-1&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}+\frac{2}{15}\left(-3\right)\\-1+\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{3}{5},y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-2y=1,15x-3y=-3$$

5x eta 15x berdintzeko, biderkatu 15 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$15\times 5x+15\left(-2\right)y=15,5\times 15x+5\left(-3\right)y=5\left(-3\right)$$

Sinplifikatu.

$$75x-30y=15,75x-15y=-15$$

Egin 75x-15y=-15 ken 75x-30y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$75x-75x-30y+15y=15+15$$

Gehitu 75x eta -75x. Sinplifikatu egiten dira 75x eta -75x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-30y+15y=15+15$$

Gehitu -30y eta 15y.

$$-15y=15+15$$

Gehitu 15 eta 15.

$$-15y=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 15x-3y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$15x-3\left(-2\right)=-3$$

Egin -3 bider -2.

$$15x+6=-3$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$15x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3}{5},y=-2$$