Resolver {l}{5x+3y=-2}{2x-2y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 2 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+3y=-2$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-3y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-2\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -3y-2.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}$$

Ordeztu \frac{-3y-2}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-2y=-4).

$$2\left(-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}\right)-2y=-4$$

Egin 2 bider \frac{-3y-2}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{4}{5}-2y=-4$$

Gehitu -\frac{6y}{5} eta -2y.

$$-\frac{16}{5}y-\frac{4}{5}=-4$$

Gehitu \frac{4}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{16}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{-3-2}{5}$$

Gehitu -\frac{2}{5} eta -\frac{3}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{3}{16}\left(-4\right)\\\frac{1}{8}\left(-2\right)-\frac{5}{16}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\left(-2\right),5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$10x+6y=-4,10x-10y=-20$$

Egin 10x-10y=-20 ken 10x+6y=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+6y+10y=-4+20$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+10y=-4+20$$

Gehitu 6y eta 10y.

$$16y=-4+20$$

Gehitu -4 eta 20.

$$16y=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 2x-2y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-2=-4$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=1$$