Resolver {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+10y=-70$$

Egin ken 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-10y-70$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -10y-70.

$$x=-2y-14$$

Ordeztu -2y-14 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-8x+30y=20).

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

Egin -8 bider -2y-14.

$$16y+112+30y=20$$

Gehitu 16y eta 30y.

$$46y+112=20$$

Egin ken 112 ekuazioaren bi aldeetan.

$$46y=-92$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 46 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-2y-14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

Egin -2 bider -2.

$$x=4-14$$

Gehitu -14 eta 4.

$$x=-10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-10,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-10,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

5x eta -8x berdintzeko, biderkatu -8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

Sinplifikatu.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

Egin -40x+150y=100 ken -40x-80y=560 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

Gehitu -40x eta 40x. Sinplifikatu egiten dira -40x eta 40x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-80y-150y=560-100$$

Gehitu -80y eta -150y.

$$-230y=560-100$$

Gehitu 560 eta -100.

$$-230y=460$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -230 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin -8x+30y=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

Egin 30 bider -2.

$$-8x-60=20$$

Gehitu 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=80$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-10,y=-2$$