Resolver {l}{5(m-1)=3(n+3)}{2(m+1)=3(n-3)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 ( m - 1 ) = 3 ( n + 3 ) } \\ { 2 ( m + 1 ) = 3 ( n - 3 ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

$$n = \frac{83}{9} = 9\frac{2}{9} \approx 9.222222222$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta m-1 biderkatzeko.

$$5m-5=3\left(n+3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta n+3 biderkatzeko.

$$5m-5=3n+9$$

Kendu 3n bi aldeetatik.

$$5m-5-3n=9$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$5m-3n=9+5$$

14 lortzeko, gehitu 9 eta 5.

$$5m-3n=14$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta m+1 biderkatzeko.

$$2m+2=3\left(n-3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta n-3 biderkatzeko.

$$2m+2=3n-9$$

Kendu 3n bi aldeetatik.

$$2m+2-3n=-9$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$2m-3n=-9-2$$

-11 lortzeko, -9 balioari kendu 2.

$$2m-3n=-11$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5m-3n=14,2m-3n=-11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5m-3n=14$$

Gehitu 3n ekuazioaren bi aldeetan.

$$5m=3n+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$m=\frac{1}{5}\left(3n+14\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 3n+14.

$$m=\frac{3}{5}n+\frac{14}{5}$$

Ordeztu \frac{3n+14}{5} balioa m balioarekin beste ekuazioan (2m-3n=-11).

$$2\left(\frac{3}{5}n+\frac{14}{5}\right)-3n=-11$$

Egin 2 bider \frac{3n+14}{5}.

$$\frac{6}{5}n+\frac{28}{5}-3n=-11$$

Gehitu \frac{6n}{5} eta -3n.

$$-\frac{9}{5}n+\frac{28}{5}=-11$$

Egin ken \frac{28}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{9}{5}n=-\frac{83}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=\frac{83}{9}$$

Ordeztu \frac{83}{9} n balioarekin m=\frac{3}{5}n+\frac{14}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=\frac{3}{5}\times \frac{83}{9}+\frac{14}{5}$$

Egin \frac{3}{5} bider \frac{83}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=\frac{83}{15}+\frac{14}{5}$$

Gehitu \frac{14}{5} eta \frac{83}{15} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=\frac{25}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{25}{3},n=\frac{83}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta m-1 biderkatzeko.

$$5m-5=3\left(n+3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta n+3 biderkatzeko.

$$5m-5=3n+9$$

Kendu 3n bi aldeetatik.

$$5m-5-3n=9$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$5m-3n=9+5$$

14 lortzeko, gehitu 9 eta 5.

$$5m-3n=14$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta m+1 biderkatzeko.

$$2m+2=3\left(n-3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta n-3 biderkatzeko.

$$2m+2=3n-9$$

Kendu 3n bi aldeetatik.

$$2m+2-3n=-9$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$2m-3n=-9-2$$

-11 lortzeko, -9 balioari kendu 2.

$$2m-3n=-11$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5m-3n=14,2m-3n=-11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 14-\frac{1}{3}\left(-11\right)\\\frac{2}{9}\times 14-\frac{5}{9}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{3}\\\frac{83}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=\frac{25}{3},n=\frac{83}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta m-1 biderkatzeko.

$$5m-5=3\left(n+3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta n+3 biderkatzeko.

$$5m-5=3n+9$$

Kendu 3n bi aldeetatik.

$$5m-5-3n=9$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$5m-3n=9+5$$

14 lortzeko, gehitu 9 eta 5.

$$5m-3n=14$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta m+1 biderkatzeko.

$$2m+2=3\left(n-3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta n-3 biderkatzeko.

$$2m+2=3n-9$$

Kendu 3n bi aldeetatik.

$$2m+2-3n=-9$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$2m-3n=-9-2$$

-11 lortzeko, -9 balioari kendu 2.

$$2m-3n=-11$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5m-3n=14,2m-3n=-11$$

Egin 2m-3n=-11 ken 5m-3n=14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5m-2m-3n+3n=14+11$$

Gehitu -3n eta 3n. Sinplifikatu egiten dira -3n eta 3n. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5m-2m=14+11$$

Gehitu 5m eta -2m.

$$3m=14+11$$

Gehitu 14 eta 11.

$$3m=25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$m=\frac{25}{3}$$

Ordeztu \frac{25}{3} m balioarekin 2m-3n=-11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, n ebatz dezakezu zuzenean.

$$2\times \frac{25}{3}-3n=-11$$

Egin 2 bider \frac{25}{3}.

$$\frac{50}{3}-3n=-11$$

Egin ken \frac{50}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3n=-\frac{83}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$n=\frac{83}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{25}{3},n=\frac{83}{9}$$