Resolver {l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$48x+40y=1280$$

Egin ken 40y ekuazioaren bi aldeetan.

$$48x=-40y+1280$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 48 balioarekin.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

Egin \frac{1}{48} bider -40y+1280.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

Ordeztu -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (120x+80y=2800).

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

Egin 120 bider -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3}.

$$-100y+3200+80y=2800$$

Gehitu -100y eta 80y.

$$-20y+3200=2800$$

Egin ken 3200 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-20y=-400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

Egin -\frac{5}{6} bider 20.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

Gehitu \frac{80}{3} eta -\frac{50}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=20$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=20$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

48x eta 120x berdintzeko, biderkatu 120 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 48 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

Sinplifikatu.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

Egin 5760x+3840y=134400 ken 5760x+4800y=153600 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

Gehitu 5760x eta -5760x. Sinplifikatu egiten dira 5760x eta -5760x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

Gehitu 4800y eta -3840y.

$$960y=153600-134400$$

Gehitu 153600 eta -134400.

$$960y=19200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 960 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin 120x+80y=2800 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$120x+80\times 20=2800$$

Egin 80 bider 20.

$$120x+1600=2800$$

Egin ken 1600 ekuazioaren bi aldeetan.

$$120x=1200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 120 balioarekin.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=20$$