Resolver {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: k, b

$$k=-2$$

$$b=160$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi k. Horretarako, isolatu k berdin ikurraren ezkerraldean.

$$44k+b=72$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$44k=-b+72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 44 balioarekin.

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

Egin \frac{1}{44} bider -b+72.

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

Ordeztu -\frac{b}{44}+\frac{18}{11} balioa k balioarekin beste ekuazioan (48k+b=64).

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

Egin 48 bider -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}.

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

Gehitu -\frac{12b}{11} eta b.

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

Egin ken \frac{864}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$b=160$$

Ordeztu 160 b balioarekin k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, k ebatz dezakezu zuzenean.

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

Egin -\frac{1}{44} bider 160.

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

Gehitu \frac{18}{11} eta -\frac{40}{11} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$k=-2,b=160$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

Atera k eta b matrize-elementuak.

$$k=-2,b=160$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Egin 48k+b=64 ken 44k+b=72 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$44k-48k+b-b=72-64$$

Gehitu b eta -b. Sinplifikatu egiten dira b eta -b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$44k-48k=72-64$$

Gehitu 44k eta -48k.

$$-4k=72-64$$

Gehitu 72 eta -64.

$$-4k=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$k=-2$$

Ordeztu -2 k balioarekin 48k+b=64 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$48\left(-2\right)+b=64$$

Egin 48 bider -2.

$$-96+b=64$$

Gehitu 96 ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=160$$

Ebatzi da sistema.

$$k=-2,b=160$$