Resolver {l}{44=12k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 12 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Ebatzi: k, b

$$k=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{244}{5} = 48\frac{4}{5} = 48.8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$12k+b=44$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$82k+b=16$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi k. Horretarako, isolatu k berdin ikurraren ezkerraldean.

$$12k+b=44$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$12k=-b+44$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)$$

Egin \frac{1}{12} bider -b+44.

$$k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}$$

Ordeztu -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} balioa k balioarekin beste ekuazioan (82k+b=16).

$$82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16$$

Egin 82 bider -\frac{b}{12}+\frac{11}{3}.

$$-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16$$

Gehitu -\frac{41b}{6} eta b.

$$-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16$$

Egin ken \frac{902}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{35}{6} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=\frac{244}{5}$$

Ordeztu \frac{244}{5} b balioarekin k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, k ebatz dezakezu zuzenean.

$$k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}$$

Egin -\frac{1}{12} bider \frac{244}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}$$

Gehitu \frac{11}{3} eta -\frac{61}{15} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$12k+b=44$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$82k+b=16$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera k eta b matrize-elementuak.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$12k+b=44$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$82k+b=16$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Egin 82k+b=16 ken 12k+b=44 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12k-82k+b-b=44-16$$

Gehitu b eta -b. Sinplifikatu egiten dira b eta -b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12k-82k=44-16$$

Gehitu 12k eta -82k.

$$-70k=44-16$$

Gehitu 44 eta -16.

$$-70k=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -70 balioarekin.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Ordeztu -\frac{2}{5} k balioarekin 82k+b=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$82\left(-\frac{2}{5}\right)+b=16$$

Egin 82 bider -\frac{2}{5}.

$$-\frac{164}{5}+b=16$$

Gehitu \frac{164}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=\frac{244}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$