Resolver {l}{44=112k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Ebatzi: k, b

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$112k+b=44$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$82k+b=16$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi k. Horretarako, isolatu k berdin ikurraren ezkerraldean.

$$112k+b=44$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$112k=-b+44$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 112 balioarekin.

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

Egin \frac{1}{112} bider -b+44.

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

Ordeztu -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} balioa k balioarekin beste ekuazioan (82k+b=16).

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

Egin 82 bider -\frac{b}{112}+\frac{11}{28}.

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

Gehitu -\frac{41b}{56} eta b.

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

Egin ken \frac{451}{14} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{15}{56} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=-\frac{908}{15}$$

Ordeztu -\frac{908}{15} b balioarekin k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, k ebatz dezakezu zuzenean.

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

Egin -\frac{1}{112} bider -\frac{908}{15}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

Gehitu \frac{11}{28} eta \frac{227}{420} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k=\frac{14}{15}$$

Ebatzi da sistema.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$112k+b=44$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$82k+b=16$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

Atera k eta b matrize-elementuak.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$112k+b=44$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$82k+b=16$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Egin 82k+b=16 ken 112k+b=44 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$112k-82k+b-b=44-16$$

Gehitu b eta -b. Sinplifikatu egiten dira b eta -b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$112k-82k=44-16$$

Gehitu 112k eta -82k.

$$30k=44-16$$

Gehitu 44 eta -16.

$$30k=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$k=\frac{14}{15}$$

Ordeztu \frac{14}{15} k balioarekin 82k+b=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

Egin 82 bider \frac{14}{15}.

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

Egin ken \frac{1148}{15} ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=-\frac{908}{15}$$

Ebatzi da sistema.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$