Resolver {l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=0.1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$40x+720y=112$$

Egin ken 720y ekuazioaren bi aldeetan.

$$40x=-720y+112$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin.

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

Egin \frac{1}{40} bider -720y+112.

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

Ordeztu -18y+\frac{14}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (120x+2205y=340.5).

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

Egin 120 bider -18y+\frac{14}{5}.

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

Gehitu -2160y eta 2205y.

$$45y+336=340.5$$

Egin ken 336 ekuazioaren bi aldeetan.

$$45y=4.5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 45 balioarekin.

$$y=0.1$$

Ordeztu 0.1 y balioarekin x=-18y+\frac{14}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

Egin -18 bider 0.1.

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

Gehitu \frac{14}{5} eta -1.8 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=0.1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

40x eta 120x berdintzeko, biderkatu 120 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 40 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

Sinplifikatu.

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

Egin 4800x+88200y=13620 ken 4800x+86400y=13440 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

Gehitu 4800x eta -4800x. Sinplifikatu egiten dira 4800x eta -4800x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$86400y-88200y=13440-13620$$

Gehitu 86400y eta -88200y.

$$-1800y=13440-13620$$

Gehitu 13440 eta -13620.

$$-1800y=-180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1800 balioarekin.

$$y=\frac{1}{10}$$

Ordeztu \frac{1}{10} y balioarekin 120x+2205y=340.5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

Egin 2205 bider \frac{1}{10}.

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

Egin ken \frac{441}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$120x=120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 120 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$