Resolver {l}{4x-2y-2=0}{3x+2y-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y - 2 = 0 } \\ { 3 x + 2 y - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

$$y=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-2y-2=0,3x+2y-1=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-2y-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x-2y=2$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=2y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+2\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 2+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1+y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y-1=0).

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+2y-1=0$$

Egin 3 bider \frac{1+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}+2y-1=0$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta 2y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}-1=0$$

Gehitu \frac{3}{2} eta -1.

$$\frac{7}{2}y+\frac{1}{2}=0$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{1}{7}$$

Ordeztu -\frac{1}{7} y balioarekin x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{7}\right)+\frac{1}{2}$$

Egin \frac{1}{2} bider -\frac{1}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{14}+\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta -\frac{1}{14} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{7},y=-\frac{1}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-2y-2=0,3x+2y-1=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 2+\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{7},y=-\frac{1}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-2y-2=0,3x+2y-1=0$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y+3\left(-2\right)=0,4\times 3x+4\times 2y+4\left(-1\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$12x-6y-6=0,12x+8y-4=0$$

Egin 12x+8y-4=0 ken 12x-6y-6=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-6y-8y-6+4=0$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y-8y-6+4=0$$

Gehitu -6y eta -8y.

$$-14y-6+4=0$$

Gehitu -6 eta 4.

$$-14y-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-14y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{7}$$

Ordeztu -\frac{1}{7} y balioarekin 3x+2y-1=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\left(-\frac{1}{7}\right)-1=0$$

Egin 2 bider -\frac{1}{7}.

$$3x-\frac{2}{7}-1=0$$

Gehitu -\frac{2}{7} eta -1.

$$3x-\frac{9}{7}=0$$

Gehitu \frac{9}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{9}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{3}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{7},y=-\frac{1}{7}$$