Resolver {l}{4x=4y+8}{3x=4y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x = 4 y + 8 } \\ { 3 x = 4 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=8$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4y bi aldeetatik.

$$4x-4y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4y bi aldeetatik.

$$3x-4y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-4y=8,3x-4y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-4y=8$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=4y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(4y+8\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 8+4y.

$$x=y+2$$

Ordeztu y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-4y=0).

$$3\left(y+2\right)-4y=0$$

Egin 3 bider y+2.

$$3y+6-4y=0$$

Gehitu 3y eta -4y.

$$-y+6=0$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=6+2$$

Gehitu 2 eta 6.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4y bi aldeetatik.

$$4x-4y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4y bi aldeetatik.

$$3x-4y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-4y=8,3x-4y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{4\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{3}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=8,y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4y bi aldeetatik.

$$4x-4y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4y bi aldeetatik.

$$3x-4y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-4y=8,3x-4y=0$$

Egin 3x-4y=0 ken 4x-4y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-3x-4y+4y=8$$

Gehitu -4y eta 4y. Sinplifikatu egiten dira -4y eta 4y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-3x=8$$

Gehitu 4x eta -3x.

$$x=8$$

Ordeztu 8 x balioarekin 3x-4y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3\times 8-4y=0$$

Egin 3 bider 8.

$$24-4y=0$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=6$$