Resolver {l}{4x+y=-8}{x+2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 8 } \\ { x + 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+y=-8,x+2y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+y=-8$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-y-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-8\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -y-8.

$$x=-\frac{1}{4}y-2$$

Ordeztu -\frac{y}{4}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+2y=-2).

$$-\frac{1}{4}y-2+2y=-2$$

Gehitu -\frac{y}{4} eta 2y.

$$\frac{7}{4}y-2=-2$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{4}y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=-\frac{1}{4}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+y=-8,x+2y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-1}&-\frac{1}{4\times 2-1}\\-\frac{1}{4\times 2-1}&\frac{4}{4\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-8\right)-\frac{1}{7}\left(-2\right)\\-\frac{1}{7}\left(-8\right)+\frac{4}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+y=-8,x+2y=-2$$

4x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+y=-8,4x+4\times 2y=4\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$4x+y=-8,4x+8y=-8$$

Egin 4x+8y=-8 ken 4x+y=-8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+y-8y=-8+8$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-8y=-8+8$$

Gehitu y eta -8y.

$$-7y=-8+8$$

Gehitu -8 eta 8.

$$-7y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x+2y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=0$$