Resolver {l}{3x-5y=6}{6x+7y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 6 } \\ { 6 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-5y=6$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=5y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 5y+6.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

Ordeztu \frac{5y}{3}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+7y=-5).

$$6\left(\frac{5}{3}y+2\right)+7y=-5$$

Egin 6 bider \frac{5y}{3}+2.

$$10y+12+7y=-5$$

Gehitu 10y eta 7y.

$$17y+12=-5$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$17y=-17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=\frac{5}{3}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{3}\left(-1\right)+2$$

Egin \frac{5}{3} bider -1.

$$x=-\frac{5}{3}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{5}{3}.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}&\frac{5}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}\times 6+\frac{5}{51}\left(-5\right)\\-\frac{2}{17}\times 6+\frac{1}{17}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

3x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 3x+6\left(-5\right)y=6\times 6,3\times 6x+3\times 7y=3\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$18x-30y=36,18x+21y=-15$$

Egin 18x+21y=-15 ken 18x-30y=36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x-30y-21y=36+15$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-30y-21y=36+15$$

Gehitu -30y eta -21y.

$$-51y=36+15$$

Gehitu 36 eta 15.

$$-51y=51$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -51 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 6x+7y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+7\left(-1\right)=-5$$

Egin 7 bider -1.

$$6x-7=-5$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$