Resolver {l}{3x-2y=12}{mx+my=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 12 } \\ { m x + m y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m}$$

$$y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$

$$m\neq 0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=12,mx+my=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=12$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+12\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 12+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+4$$

Ordeztu \frac{2y}{3}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (mx+my=9).

$$m\left(\frac{2}{3}y+4\right)+my=9$$

Egin m bider \frac{2y}{3}+4.

$$\frac{2m}{3}y+4m+my=9$$

Gehitu \frac{2my}{3} eta my.

$$\frac{5m}{3}y+4m=9$$

Egin ken 4m ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5m}{3}y=9-4m$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5m}{3} balioarekin.

$$y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$

Ordeztu \frac{27}{5m}-\frac{12}{5} y balioarekin x=\frac{2}{3}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}\right)+4$$

Egin \frac{2}{3} bider \frac{27}{5m}-\frac{12}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}+\frac{18}{5m}+4$$

Gehitu 4 eta \frac{18}{5m}-\frac{8}{5}.

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m},y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=12,mx+my=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\m&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{3m-\left(-2m\right)}&-\frac{-2}{3m-\left(-2m\right)}\\-\frac{m}{3m-\left(-2m\right)}&\frac{3}{3m-\left(-2m\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5m}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 12+\frac{2}{5m}\times 9\\-\frac{1}{5}\times 12+\frac{3}{5m}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}+\frac{18}{5m}\\-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m},y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=12,mx+my=9$$

3x eta mx berdintzeko, biderkatu m balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$m\times 3x+m\left(-2\right)y=m\times 12,3mx+3my=3\times 9$$

Sinplifikatu.

$$3mx+\left(-2m\right)y=12m,3mx+3my=27$$

Egin 3mx+3my=27 ken 3mx+\left(-2m\right)y=12m berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3mx+\left(-3m\right)x+\left(-2m\right)y+\left(-3m\right)y=12m-27$$

Gehitu 3mx eta -3mx. Sinplifikatu egiten dira 3mx eta -3mx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\left(-2m\right)y+\left(-3m\right)y=12m-27$$

Gehitu -2my eta -3my.

$$\left(-5m\right)y=12m-27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5m balioarekin.

$$y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$

Ordeztu \frac{27}{5m}-\frac{12}{5} y balioarekin mx+my=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$mx+m\left(-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}\right)=9$$

Egin m bider \frac{27}{5m}-\frac{12}{5}.

$$mx+\frac{27-12m}{5}=9$$

Egin ken \frac{27-12m}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$mx=\frac{12m+18}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m balioarekin.

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{12}{5}+\frac{18}{5m},y=-\frac{12}{5}+\frac{27}{5m}$$