Resolver {l}{3x-2y=0}{2x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 0 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = \frac{27}{13} = 2\frac{1}{13} \approx 2.076923077$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=0,2x+3y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=0$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

Egin \frac{1}{3} bider 2y.

$$x=\frac{2}{3}y$$

Ordeztu \frac{2y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=9).

$$2\times \frac{2}{3}y+3y=9$$

Egin 2 bider \frac{2y}{3}.

$$\frac{4}{3}y+3y=9$$

Gehitu \frac{4y}{3} eta 3y.

$$\frac{13}{3}y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{27}{13}$$

Ordeztu \frac{27}{13} y balioarekin x=\frac{2}{3}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{27}{13}$$

Egin \frac{2}{3} bider \frac{27}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{18}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{27}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=0,2x+3y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 9\\\frac{3}{13}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\\frac{27}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{27}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=0,2x+3y=9$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=0,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

Sinplifikatu.

$$6x-4y=0,6x+9y=27$$

Egin 6x+9y=27 ken 6x-4y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-4y-9y=-27$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y-9y=-27$$

Gehitu -4y eta -9y.

$$-13y=-27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=\frac{27}{13}$$

Ordeztu \frac{27}{13} y balioarekin 2x+3y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\times \frac{27}{13}=9$$

Egin 3 bider \frac{27}{13}.

$$2x+\frac{81}{13}=9$$

Egin ken \frac{81}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{36}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{18}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{27}{13}$$