Resolver {l}{3x^2+2y^2=2}{2x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 2 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{4}{5}=0.8\text{, }y=\frac{1}{5}=0.2$$

$$x=-\frac{20}{31}\approx -0.64516129\text{, }y=\frac{19}{31}\approx 0.612903226$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+7y=3,2y^{2}+3x^{2}=2$$

Ebatzi 2x+7y=3 ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$2x+7y=3$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-7y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}$$

Ordeztu -\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2y^{2}+3x^{2}=2).

$$2y^{2}+3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}\right)^{2}=2$$

Egin -\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} ber bi.

$$2y^{2}+3\left(\frac{49}{4}y^{2}-\frac{21}{2}y+\frac{9}{4}\right)=2$$

Egin 3 bider \frac{49}{4}y^{2}-\frac{21}{2}y+\frac{9}{4}.

$$2y^{2}+\frac{147}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{27}{4}=2$$

Gehitu 2y^{2} eta \frac{147}{4}y^{2}.

$$\frac{155}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{27}{4}=2$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{155}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{19}{4}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2} balioa a balioarekin, 3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2 balioa b balioarekin, eta \frac{19}{4} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{63}{2}\right)^{2}-4\times \frac{155}{4}\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

Egin 3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969}{4}-4\times \frac{155}{4}\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

Egin -4 bider 2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969}{4}-155\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

Egin -155 bider \frac{19}{4}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969-2945}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

Gehitu \frac{3969}{4} eta -\frac{2945}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{256}}{2\times \frac{155}{4}}$$

Atera 256 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±16}{2\times \frac{155}{4}}$$

3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2 zenbakiaren aurkakoa \frac{63}{2} da.

$$y=\frac{\frac{63}{2}±16}{2\times \frac{155}{4}}$$

Egin 2 bider 2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}}$$

Orain, ebatzi y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{63}{2} eta 16.

$$y=\frac{\frac{95}{2}}{\frac{155}{2}}$$

Zatitu \frac{95}{2} balioa \frac{155}{2} frakzioarekin, \frac{95}{2} balioa \frac{155}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$y=\frac{19}{31}$$

Orain, ebatzi y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}} ekuazioa ± minus denean. Egin 16 ken \frac{63}{2}.

$$y=\frac{\frac{31}{2}}{\frac{155}{2}}$$

Zatitu \frac{31}{2} balioa \frac{155}{2} frakzioarekin, \frac{31}{2} balioa \frac{155}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$y=\frac{1}{5}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{19}{31} eta \frac{1}{5}. Ordeztu \frac{19}{31} balioa y balioarekin x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{19}{31}+\frac{3}{2}$$

Egin -\frac{7}{2} bider \frac{19}{31}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{133}{62}+\frac{3}{2}$$

Gehitu -\frac{7}{2}\times \frac{19}{31} eta \frac{3}{2}.

$$x=-\frac{20}{31}$$

Orain, ordeztu \frac{1}{5} balioa x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{1}{5}+\frac{3}{2}$$

Egin -\frac{7}{2} bider \frac{1}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{7}{10}+\frac{3}{2}$$

Gehitu -\frac{7}{2}\times \frac{1}{5} eta \frac{3}{2}.

$$x=\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{20}{31},y=\frac{19}{31}\text{ or }x=\frac{4}{5},y=\frac{1}{5}$$