Resolver {l}{3x+y=2}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+y=2$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{-y+2}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=5).

$$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-2y=5$$

Egin 3 bider \frac{-y+2}{3}.

$$-y+2-2y=5$$

Gehitu -y eta -2y.

$$-3y+2=5$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{2}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider -1.

$$x=\frac{1+2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{1}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{3\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-3}&\frac{3}{3\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 5\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+y=2,3x-2y=5$$

Egin 3x-2y=5 ken 3x+y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+y+2y=2-5$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+2y=2-5$$

Gehitu y eta 2y.

$$3y=2-5$$

Gehitu 2 eta -5.

$$3y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 3x-2y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Egin -2 bider -1.

$$3x+2=5$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$