Resolver {l}{3x+2y=98}{8x+3y=158}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 98 } \\ { 8 x + 3 y = 158 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{310}{7} = 44\frac{2}{7} \approx 44.285714286$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=98,8x+3y=158$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=98$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+98$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+98\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+98.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{98}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y+98}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x+3y=158).

$$8\left(-\frac{2}{3}y+\frac{98}{3}\right)+3y=158$$

Egin 8 bider \frac{-2y+98}{3}.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{784}{3}+3y=158$$

Gehitu -\frac{16y}{3} eta 3y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{784}{3}=158$$

Egin ken \frac{784}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{310}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{310}{7}$$

Ordeztu \frac{310}{7} y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+\frac{98}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{310}{7}+\frac{98}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider \frac{310}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{620}{21}+\frac{98}{3}$$

Gehitu \frac{98}{3} eta -\frac{620}{21} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{22}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{310}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=98,8x+3y=158$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 8}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 8}\\-\frac{8}{3\times 3-2\times 8}&\frac{3}{3\times 3-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{8}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\times 98+\frac{2}{7}\times 158\\\frac{8}{7}\times 98-\frac{3}{7}\times 158\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{310}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{310}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=98,8x+3y=158$$

3x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 3x+8\times 2y=8\times 98,3\times 8x+3\times 3y=3\times 158$$

Sinplifikatu.

$$24x+16y=784,24x+9y=474$$

Egin 24x+9y=474 ken 24x+16y=784 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$24x-24x+16y-9y=784-474$$

Gehitu 24x eta -24x. Sinplifikatu egiten dira 24x eta -24x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16y-9y=784-474$$

Gehitu 16y eta -9y.

$$7y=784-474$$

Gehitu 784 eta -474.

$$7y=310$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=\frac{310}{7}$$

Ordeztu \frac{310}{7} y balioarekin 8x+3y=158 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x+3\times \frac{310}{7}=158$$

Egin 3 bider \frac{310}{7}.

$$8x+\frac{930}{7}=158$$

Egin ken \frac{930}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=\frac{176}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{22}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{310}{7}$$