Resolver {l}{3x+2y=40}{2x+3y=78}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 40 } \\ { 2 x + 3 y = 78 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{36}{5} = -7\frac{1}{5} = -7.2$$

$$y = \frac{154}{5} = 30\frac{4}{5} = 30.8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=40,2x+3y=78$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=40$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+40\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+40.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{40}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y+40}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=78).

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{40}{3}\right)+3y=78$$

Egin 2 bider \frac{-2y+40}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{80}{3}+3y=78$$

Gehitu -\frac{4y}{3} eta 3y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{80}{3}=78$$

Egin ken \frac{80}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{3}y=\frac{154}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{154}{5}$$

Ordeztu \frac{154}{5} y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+\frac{40}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{154}{5}+\frac{40}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider \frac{154}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{308}{15}+\frac{40}{3}$$

Gehitu \frac{40}{3} eta -\frac{308}{15} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{36}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{36}{5},y=\frac{154}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=40,2x+3y=78$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\78\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\78\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\78\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\78\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}&\frac{3}{3\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\78\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\78\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 40-\frac{2}{5}\times 78\\-\frac{2}{5}\times 40+\frac{3}{5}\times 78\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{5}\\\frac{154}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{36}{5},y=\frac{154}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=40,2x+3y=78$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 40,3\times 2x+3\times 3y=3\times 78$$

Sinplifikatu.

$$6x+4y=80,6x+9y=234$$

Egin 6x+9y=234 ken 6x+4y=80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+4y-9y=80-234$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-9y=80-234$$

Gehitu 4y eta -9y.

$$-5y=80-234$$

Gehitu 80 eta -234.

$$-5y=-154$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=\frac{154}{5}$$

Ordeztu \frac{154}{5} y balioarekin 2x+3y=78 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\times \frac{154}{5}=78$$

Egin 3 bider \frac{154}{5}.

$$2x+\frac{462}{5}=78$$

Egin ken \frac{462}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-\frac{72}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{36}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{36}{5},y=\frac{154}{5}$$