Resolver {l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2k$$

$$y=5k$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=16k$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+16k$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+16k.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y+16k}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-4y=-10k).

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

Egin 5 bider \frac{-2y+16k}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

Egin ken \frac{80k}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{22}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=5k$$

Ordeztu 5k y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider 5k.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

Gehitu \frac{16k}{3} eta -\frac{10k}{3}.

$$x=2k$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2k,y=5k$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2k,y=5k$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

Sinplifikatu.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

Egin 15x-12y=-30k ken 15x+10y=80k berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y+12y=80k+30k$$

Gehitu 10y eta 12y.

$$22y=80k+30k$$

Gehitu 80k eta 30k.

$$22y=110k$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 22 balioarekin.

$$y=5k$$

Ordeztu 5k y balioarekin 5x-4y=-10k ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

Egin -4 bider 5k.

$$5x-20k=-10k$$

Gehitu 20k ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=10k$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=2k$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2k,y=5k$$