Resolver {l}{3(x-1)=y+5}{5(y-1)=3(x+1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = y + 5 } \\ { 5 ( y - 1 ) = 3 ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-1 biderkatzeko.

$$3x-3=y+5$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-3-y=5$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$3x-y=5+3$$

8 lortzeko, gehitu 5 eta 3.

$$3x-y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta y-1 biderkatzeko.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$5y-5=3x+3$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$5y-5-3x=3$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$5y-3x=3+5$$

8 lortzeko, gehitu 3 eta 5.

$$5y-3x=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y=8$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Ordeztu \frac{8+y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+5y=8).

$$-3\left(\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}\right)+5y=8$$

Egin -3 bider \frac{8+y}{3}.

$$-y-8+5y=8$$

Gehitu -y eta 5y.

$$4y-8=8$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{8}{3}$$

Egin \frac{1}{3} bider 4.

$$x=\frac{4+8}{3}$$

Gehitu \frac{8}{3} eta \frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-1 biderkatzeko.

$$3x-3=y+5$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-3-y=5$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$3x-y=5+3$$

8 lortzeko, gehitu 5 eta 3.

$$3x-y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta y-1 biderkatzeko.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$5y-5=3x+3$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$5y-5-3x=3$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$5y-3x=3+5$$

8 lortzeko, gehitu 3 eta 5.

$$5y-3x=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 8+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-1 biderkatzeko.

$$3x-3=y+5$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-3-y=5$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$3x-y=5+3$$

8 lortzeko, gehitu 5 eta 3.

$$3x-y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta y-1 biderkatzeko.

$$5y-5=3\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+1 biderkatzeko.

$$5y-5=3x+3$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$5y-5-3x=3$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$5y-3x=3+5$$

8 lortzeko, gehitu 3 eta 5.

$$5y-3x=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y=8,-3x+5y=8$$

3x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 3x-3\left(-1\right)y=-3\times 8,3\left(-3\right)x+3\times 5y=3\times 8$$

Sinplifikatu.

$$-9x+3y=-24,-9x+15y=24$$

Egin -9x+15y=24 ken -9x+3y=-24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-9x+9x+3y-15y=-24-24$$

Gehitu -9x eta 9x. Sinplifikatu egiten dira -9x eta 9x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-15y=-24-24$$

Gehitu 3y eta -15y.

$$-12y=-24-24$$

Gehitu -24 eta -24.

$$-12y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin -3x+5y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+5\times 4=8$$

Egin 5 bider 4.

$$-3x+20=8$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=4$$