Resolver {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta x-y biderkatzeko.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x lortzeko, konbinatu 3x eta -4x.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y lortzeko, konbinatu 3y eta 4y.

$$-x+7y=-18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{2} eta x+y biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{6} eta x-y biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}x eta \frac{1}{6}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}y eta -\frac{1}{6}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x+7y=-18$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-7y-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

Egin -1 bider -7y-18.

$$x=7y+18$$

Ordeztu 7y+18 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2).

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

Egin \frac{2}{3} bider 7y+18.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

Gehitu \frac{14y}{3} eta \frac{y}{3}.

$$5y+12=2$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=7y+18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

Egin 7 bider -2.

$$x=-14+18$$

Gehitu 18 eta -14.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta x-y biderkatzeko.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x lortzeko, konbinatu 3x eta -4x.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y lortzeko, konbinatu 3y eta 4y.

$$-x+7y=-18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{2} eta x+y biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{6} eta x-y biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}x eta \frac{1}{6}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}y eta -\frac{1}{6}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Erabili banaketa-propietatea -4 eta x-y biderkatzeko.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x lortzeko, konbinatu 3x eta -4x.

$$-x+3y+4y=-18$$

7y lortzeko, konbinatu 3y eta 4y.

$$-x+7y=-18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{2} eta x+y biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{6} eta x-y biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}x eta \frac{1}{6}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}y eta -\frac{1}{6}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

-x eta \frac{2x}{3} berdintzeko, biderkatu \frac{2}{3} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Sinplifikatu.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Egin -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 ken -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Gehitu -\frac{2x}{3} eta \frac{2x}{3}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{2x}{3} eta \frac{2x}{3}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Gehitu \frac{14y}{3} eta \frac{y}{3}.

$$5y=-12+2$$

Gehitu -12 eta 2.

$$5y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

Egin \frac{1}{3} bider -2.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-2$$