Resolver {l}{3(x+y)=5x-y+2}{2(x-y)=3x+y-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) = 5 x - y + 2 } \\ { 2 ( x - y ) = 3 x + y - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

-2x lortzeko, konbinatu 3x eta -5x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$-2x+3y+y=2$$

4y lortzeko, konbinatu 3y eta y.

$$-2x+4y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x-2y-3x=y-4$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x-2y=y-4$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$-x-2y-y=-4$$

-3y lortzeko, konbinatu -2y eta -y.

$$-x-3y=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2x+4y=2$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-4y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

Egin -\frac{1}{2} bider -4y+2.

$$x=2y-1$$

Ordeztu 2y-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x-3y=-4).

$$-\left(2y-1\right)-3y=-4$$

Egin -1 bider 2y-1.

$$-2y+1-3y=-4$$

Gehitu -2y eta -3y.

$$-5y+1=-4$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=2y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2-1$$

Gehitu -1 eta 2.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

-2x lortzeko, konbinatu 3x eta -5x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$-2x+3y+y=2$$

4y lortzeko, konbinatu 3y eta y.

$$-2x+4y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x-2y-3x=y-4$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x-2y=y-4$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$-x-2y-y=-4$$

-3y lortzeko, konbinatu -2y eta -y.

$$-x-3y=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 2-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

-2x lortzeko, konbinatu 3x eta -5x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$-2x+3y+y=2$$

4y lortzeko, konbinatu 3y eta y.

$$-2x+4y=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x-2y-3x=y-4$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x-2y=y-4$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$-x-2y-y=-4$$

-3y lortzeko, konbinatu -2y eta -y.

$$-x-3y=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

-2x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-\left(-2\right)x-4y=-2,-2\left(-1\right)x-2\left(-3\right)y=-2\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$2x-4y=-2,2x+6y=8$$

Egin 2x+6y=8 ken 2x-4y=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-4y-6y=-2-8$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y-6y=-2-8$$

Gehitu -4y eta -6y.

$$-10y=-2-8$$

Gehitu -2 eta -8.

$$-10y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin -x-3y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x-3=-4$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$