Resolver {l}{3(x+2)=2y}{2cy+s=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + s = 7 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{s+6c}{3c-7}\text{, }y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\text{, }&c\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{2\left(y-3\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=\frac{7}{3}\text{ and }s=-14\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+6-2y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-2y=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$2cy+s-7x=0$$

Kendu s bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2cy-7x=-s$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=-6$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Ordeztu \frac{2y}{3}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-7x+2cy=-s).

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-s$$

Egin -7 bider \frac{2y}{3}-2.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-s$$

Gehitu -\frac{14y}{3} eta 2cy.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-s$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-s-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{14}{3}+2c balioarekin.

$$y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Ordeztu -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)} y balioarekin x=\frac{2}{3}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

Egin \frac{2}{3} bider -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}.

$$x=-\frac{s+14}{3c-7}-2$$

Gehitu -2 eta -\frac{s+14}{-7+3c}.

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+6-2y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-2y=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$2cy+s-7x=0$$

Kendu s bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2cy-7x=-s$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-s\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-s\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{s+6c}{3c-7}\\-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+6-2y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-2y=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$2cy+s-7x=0$$

Kendu s bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2cy-7x=-s$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

3x eta -7x berdintzeko, biderkatu -7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-s\right)$$

Sinplifikatu.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-3s$$

Egin -21x+6cy=-3s ken -21x+14y=42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

Gehitu -21x eta 21x. Sinplifikatu egiten dira -21x eta 21x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

Gehitu 14y eta -6cy.

$$\left(14-6c\right)y=42+3s$$

Gehitu 42 eta 3s.

$$\left(14-6c\right)y=3s+42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14-6c balioarekin.

$$y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$

Ordeztu \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)} y balioarekin -7x+2cy=-s ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-7x+2c\times \frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}=-s$$

Egin 2c bider \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}.

$$-7x+\frac{3c\left(s+14\right)}{7-3c}=-s$$

Egin ken \frac{3c\left(14+s\right)}{7-3c} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=-\frac{7\left(s+6c\right)}{7-3c}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=\frac{s+6c}{7-3c}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{s+6c}{7-3c},y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$

Ebatzi: x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{s+6c}{3c-7}\text{, }y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\text{, }&c\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{2\left(y-3\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=\frac{7}{3}\text{ and }s=-14\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+6-2y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-2y=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$2cy+s-7x=0$$

Kendu s bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2cy-7x=-s$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=-6$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Ordeztu \frac{2y}{3}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-7x+2cy=-s).

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-s$$

Egin -7 bider \frac{2y}{3}-2.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-s$$

Gehitu -\frac{14y}{3} eta 2cy.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-s$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-s-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{14}{3}+2c balioarekin.

$$y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Ordeztu -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)} y balioarekin x=\frac{2}{3}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

Egin \frac{2}{3} bider -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}.

$$x=-\frac{s+14}{3c-7}-2$$

Gehitu -2 eta -\frac{s+14}{-7+3c}.

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+6-2y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-2y=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$2cy+s-7x=0$$

Kendu s bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2cy-7x=-s$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-s\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-s\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{s+6c}{3c-7}\\-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+6-2y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-2y=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$2cy+s-7x=0$$

Kendu s bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2cy-7x=-s$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

3x eta -7x berdintzeko, biderkatu -7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-s\right)$$

Sinplifikatu.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-3s$$

Egin -21x+6cy=-3s ken -21x+14y=42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

Gehitu -21x eta 21x. Sinplifikatu egiten dira -21x eta 21x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

Gehitu 14y eta -6cy.

$$\left(14-6c\right)y=42+3s$$

Gehitu 42 eta 3s.

$$\left(14-6c\right)y=3s+42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14-6c balioarekin.

$$y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$

Ordeztu \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)} y balioarekin -7x+2cy=-s ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-7x+2c\times \frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}=-s$$

Egin 2c bider \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}.

$$-7x+\frac{3c\left(s+14\right)}{7-3c}=-s$$

Egin ken \frac{3c\left(14+s\right)}{7-3c} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=-\frac{7\left(s+6c\right)}{7-3c}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=\frac{s+6c}{7-3c}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{s+6c}{7-3c},y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$