Resolver {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

Egin 3 bider 2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

Egin -5 bider y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

Gehitu 3 eta 15.

$$6x-5y+18=1$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x-5y=-17$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=5y-17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider 5y-17.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

Ordeztu \frac{5y-17}{6} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3).

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Egin -1 bider \frac{5y-17}{6}.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Gehitu \frac{17}{6} eta 1.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Egin 5 bider \frac{-5y+23}{6}.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

Egin -4 bider 2y+1.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

Gehitu -\frac{25y}{6} eta -8y.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

Gehitu \frac{115}{6} eta -4.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

Egin ken \frac{91}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{73}{6} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5-17}{6}$$

Gehitu -\frac{17}{6} eta \frac{5}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Sinplifikatu lehenengo ekuazioa forma estandarrean jartzeko.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

Egin 3 bider 2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

Egin -5 bider y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

Gehitu 3 eta 15.

$$6x-5y+18=1$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x-5y=-17$$

Sinplifikatu bigarren ekuazioa forma estandarrean jartzeko.

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Egin 5 bider -x+1.

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

Egin -4 bider 2y+1.

$$-5x+5-8y-4=3$$

Gehitu 5 eta -4.

$$-5x-8y+1=3$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x-8y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=1$$