Resolver {l}{25x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$25x+110y=6100$$

Egin ken 110y ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x=-110y+6100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

Egin \frac{1}{25} bider -110y+6100.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

Ordeztu -\frac{22y}{5}+244 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=50).

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

Gehitu -\frac{22y}{5} eta y.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

Egin ken 244 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{970}{17}$$

Ordeztu \frac{970}{17} y balioarekin x=-\frac{22}{5}y+244 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

Egin -\frac{22}{5} bider \frac{970}{17}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

Gehitu 244 eta -\frac{4268}{17}.

$$x=-\frac{120}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

25x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 25 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

Sinplifikatu.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

Egin 25x+25y=1250 ken 25x+110y=6100 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

Gehitu 25x eta -25x. Sinplifikatu egiten dira 25x eta -25x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$110y-25y=6100-1250$$

Gehitu 110y eta -25y.

$$85y=6100-1250$$

Gehitu 6100 eta -1250.

$$85y=4850$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 85 balioarekin.

$$y=\frac{970}{17}$$

Ordeztu \frac{970}{17} y balioarekin x+y=50 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

Egin ken \frac{970}{17} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{120}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$