Resolver {l}{21x+7y=42}{-5x+5y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x + 7 y = 42 } \\ { - 5 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$21x+7y=42$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$21x=-7y+42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin.

$$x=\frac{1}{21}\left(-7y+42\right)$$

Egin \frac{1}{21} bider -7y+42.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Ordeztu -\frac{y}{3}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+5y=10).

$$-5\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+5y=10$$

Egin -5 bider -\frac{y}{3}+2.

$$\frac{5}{3}y-10+5y=10$$

Gehitu \frac{5y}{3} eta 5y.

$$\frac{20}{3}y-10=10$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{20}{3}y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{20}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

Egin -\frac{1}{3} bider 3.

$$x=-1+2$$

Gehitu 2 eta -1.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{21\times 5-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&\frac{21}{21\times 5-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{28}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}\times 42-\frac{1}{20}\times 10\\\frac{1}{28}\times 42+\frac{3}{20}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

21x eta -5x berdintzeko, biderkatu -5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 21 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5\times 21x-5\times 7y=-5\times 42,21\left(-5\right)x+21\times 5y=21\times 10$$

Sinplifikatu.

$$-105x-35y=-210,-105x+105y=210$$

Egin -105x+105y=210 ken -105x-35y=-210 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-105x+105x-35y-105y=-210-210$$

Gehitu -105x eta 105x. Sinplifikatu egiten dira -105x eta 105x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-35y-105y=-210-210$$

Gehitu -35y eta -105y.

$$-140y=-210-210$$

Gehitu -210 eta -210.

$$-140y=-420$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -140 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin -5x+5y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x+5\times 3=10$$

Egin 5 bider 3.

$$-5x+15=10$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$