Resolver {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$200x+300y=360$$

Egin ken 300y ekuazioaren bi aldeetan.

$$200x=-300y+360$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 200 balioarekin.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

Egin \frac{1}{200} bider -300y+360.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (300x+200y=340).

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

Egin 300 bider -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}.

$$-450y+540+200y=340$$

Gehitu -450y eta 200y.

$$-250y+540=340$$

Egin ken 540 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-250y=-200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -250 balioarekin.

$$y=\frac{4}{5}$$

Ordeztu \frac{4}{5} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{4}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

Gehitu \frac{9}{5} eta -\frac{6}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

200x eta 300x berdintzeko, biderkatu 300 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 200 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

Sinplifikatu.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

Egin 60000x+40000y=68000 ken 60000x+90000y=108000 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

Gehitu 60000x eta -60000x. Sinplifikatu egiten dira 60000x eta -60000x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

Gehitu 90000y eta -40000y.

$$50000y=108000-68000$$

Gehitu 108000 eta -68000.

$$50000y=40000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 50000 balioarekin.

$$y=\frac{4}{5}$$

Ordeztu \frac{4}{5} y balioarekin 300x+200y=340 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

Egin 200 bider \frac{4}{5}.

$$300x+160=340$$

Egin ken 160 ekuazioaren bi aldeetan.

$$300x=180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 300 balioarekin.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$