Resolver {l}{2x-y=5}{4x+6y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3.375$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-y=5$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5+y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+6y=24).

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

Egin 4 bider \frac{5+y}{2}.

$$2y+10+6y=24$$

Gehitu 2y eta 6y.

$$8y+10=24$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=\frac{7}{4}$$

Ordeztu \frac{7}{4} y balioarekin x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}+\frac{5}{2}$$

Egin \frac{1}{2} bider \frac{7}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{7}{8}+\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{7}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{27}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{8}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\times 6y=2\times 24$$

Sinplifikatu.

$$8x-4y=20,8x+12y=48$$

Egin 8x+12y=48 ken 8x-4y=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x-4y-12y=20-48$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y-12y=20-48$$

Gehitu -4y eta -12y.

$$-16y=20-48$$

Gehitu 20 eta -48.

$$-16y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$y=\frac{7}{4}$$

Ordeztu \frac{7}{4} y balioarekin 4x+6y=24 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+6\times \frac{7}{4}=24$$

Egin 6 bider \frac{7}{4}.

$$4x+\frac{21}{2}=24$$

Egin ken \frac{21}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{27}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{27}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$