Resolver {l}{2x+3y=-1}{4x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = - 1 } \\ { 4 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=-1,4x+y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=-1$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y-1.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y-1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+y=3).

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=3$$

Egin 4 bider \frac{-3y-1}{2}.

$$-6y-2+y=3$$

Gehitu -6y eta y.

$$-5y-2=3$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider -1.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=-1,4x+y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\left(-1\right)+\frac{3}{10}\times 3\\\frac{2}{5}\left(-1\right)-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=-1,4x+y=3$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(-1\right),2\times 4x+2y=2\times 3$$

Sinplifikatu.

$$8x+12y=-4,8x+2y=6$$

Egin 8x+2y=6 ken 8x+12y=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+12y-2y=-4-6$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-2y=-4-6$$

Gehitu 12y eta -2y.

$$10y=-4-6$$

Gehitu -4 eta -6.

$$10y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 4x+y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-1=3$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$